Tekrarlayan sinir ağları, hem biyolojik beyin devrelerini modellemek hem de yapay zeka sistemleri geliştirmek için yaygın biçimde kullanılmaktadır. Bu ağlardaki nöronlar birbirini karşılıklı olarak uyarır ya da baskılar; bu da karmaşık ve zaman içinde evrilen dinamiklerin ortaya çıkmasına neden olur.
Araştırmacılar bu dinamikleri anlamlandırmak için genellikle temel bileşen analizine (PCA) başvurur. PCA, ağın aktivitesindeki varyansı birbirinden bağımsız bileşenlere ayırarak hangi örüntülerin ağ davranışına en çok katkı yaptığını ortaya koyar. Bu analizin matematiksel omurgası ise durağan kovaryans matrisinin spektrumu, yani özdeğer dağılımıdır.
Daha önce yapılan çalışmalar, 'normal' simetrik ağırlık matrislerine sahip doğrusal ağlarda bu spektrumun özelliklerini başarıyla tanımlamıştı. Ancak gerçek biyolojik sinaptik bağlantılara daha yakın olan 'normal olmayan' ağırlık matrislerinde kovaryans spektrumu büyük ölçüde bilinmezliğini koruyordu. Normal olmayan matrisler, özvektörlerinin birbirine dik olmaması nedeniyle çok daha zengin ve analiz edilmesi güç dinamikler üretir.
Yeni çalışmada araştırmacılar, serbest olasılık teorisi adı verilen ileri düzey matematiksel bir çerçeveyi kullanarak bu soruna yaklaştı. Serbest olasılık, büyük rasgele matrislerin spektral özelliklerini analiz etmek için geliştirilmiş bir araçlar bütünüdür ve klasik olasılık teorisinin matris dünyasındaki bir karşılığı olarak düşünülebilir.
Bu yaklaşım sayesinde ekip, kesikli zamanlı dinamiklere sahip ve rasgele Gauss dağılımlı normal olmayan ağırlıklara sahip ağlar için durağan kovaryans spektrumunun moment üreten fonksiyonunu veren kapalı bir fonksiyonel denklem türetti. Kapalı form çözümü, ağın parametreleri değiştikçe spektrumun nasıl dönüştüğünü sistematik biçimde incelemeye olanak tanır.
Özellikle kritik rejim olarak adlandırılan, ağın kaosa sürüklenme eşiğinde olduğu bölgede kuyruk özdeğerlerinin davranışı detaylı biçimde incelendi. Bu bölge, hem nörobilimsel açıdan hem de makine öğrenimi uygulamaları bakımından kritik önem taşır; zira ağın bilgi işleme kapasitesi bu sınırda en üst düzeye çıkabilmektedir.
Çalışma aynı zamanda sürekli zamanlı dinamikler için aynı matematiksel yaklaşımın uygulanmasının farklı sonuçlar verdiğini gösteriyor. Bu bulgu, model seçiminin teorik öngörüler üzerinde ne denli belirleyici olduğunu bir kez daha gözler önüne seriyor.